かみのドリル

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三角形の面積のドリル(座標平面上)

概要

座標平面で、三角形の面積を求める練習します。 「底辺×高さ÷2」ではなく、3点の座標から計算するものです。

簡単な説明

三つの点が(0,0),(a,b),(c,d)であらわされているとき、それらをつないだ三角形の面積Sは、

面積の公式:S=|ad-bc|/2

と表されます。つまり、2点のx、y座標をたがいちがいに掛け、差をとり、その半分の絶対値です。

絶対値を考えているのは、面積は負にならないからだと思っていいです。 続編として作ろうと思いますが、4角形以上を計算するとき、負の面積を考えると便利なことがあります。

(0、0)が無いとき

三点のうちに(0,0)がない場合は、どれかひとつが(0,0)になるように3点を同じだけ平行移動します。

たとえば、(1,3),(2,8),(−1,4)の場合に、(1,3)を(0,0)に動かすならば、 残りの2点はそれぞれ(2−1,8−3)=(1,5)と(−1−1,4−3)=(−2,1)に移るので、 面積S=|1×1−5×(−2)|/2=5.5です。

3点を結んで作る三角形の面積を求める問題はよく出されるので、これを知っておくと非常に便利です。

経過

座標と三角形の面積の問題例

最初につくった座標と三角形の面積1では1点を(0,0)にずらすところまで誘導がついています。説明はつくらなかったので、このページに書いてある通りに計算してください。

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続編

[date,2012,09,23,a]

座標入りで作り直していきます。

[date,2010,09,12,a]

本文で少しだけ触れていますが、4点以上をつないだ多角形も、これを少し応用するだけでもとまります。 その際の方法は3角形も計算できますし、1個は(0,0)がないといけないということもありません。

ただし、三角形に使うと計算は多くなると思います。私はExcelで土地の面積を計算するときに使いました。日本中の地点に座標が決まってるなんて素敵。